수학

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P = NP P = NP. 전산학의 초대형 떡밥 복잡도 종류 P와 NP의 관계에 대한 문제. 밀레니엄문제 일곱 개 중 하나로, 이게 참이라는 결과가 만에 하나 나온다면 전산학 뿐만 아니라 온갖 엉뚱한 곳에서 폭풍이 몰아칠 것이 분명하다. 물론 거짓이라고 하더라도 드럽게 어려운 문제인 건 사실이다.
소수 기록 좀 더 정확히 말하면, "알려진 가장 큰 소수의 기록". 소수가 무한히 많다는 건 물론 유클리드 때부터 증명되었지만, 아주 큰 숫자가 소수임을 증명하는 건 쉽지 않기 때문에 알려진 것보다 더 큰 소수를 찾으려는 노력은 수백년간 이어져 왔다. 2011년 12월 현재 알려진 가장 큰 소수는 243112609-1 = 3 1647 0269 ... 1666 9715 2511으로 GIMPS에 의해 발견되었다.O(n^2 \log n \log\log n)
거듭제곱 Exponentiation. 반복된 곱셈을 나타내는 이항연산. 자연수 a와 b에 대해 a의 b제곱 a^b는 a를 b회 반복하여 곱한 것으로, 다음과 같이 정의된다: a^b = \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b} 물론 자연수가 아닌 다른 숫자, 이를테면 실수나 복소수에 대해 이 정의를 확장하는 것도 가능하다. 어느 경우든 거듭제곱에서 반복되어 곱해지는 숫자(아랫쪽에 쓰는 숫자)는 밑(base), 그리고 곱셈을 반복하는 횟수(윗쪽에 첨자로 쓴 숫자)는 지수(exponent)라고 부른다.a^1 = ab > 1a^b = a \times a^{b-1}b = 1a^0 = 1b \le 0a^b = \frac{1}{a^{-b}}a^{-1} = \frac{1}{a}a^b \times a^c = a^{b+c}\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}(a^b)^c = a^{b \times c}a^{(b^c)}(a \times b)^c = a^c \times…
0의 0제곱 00. 거듭제곱의 특수한 경우로, 대부분의 교과 과정에서는 0으로나누기와 같이 부정형으로 본다. 이는 다음 두 가지 사실에서 유래하는데, * x^0은 x가 0이 아닐 때는 항상 1이다. * 0^y는 y가 0보다 클 때는 항상 0이다. \lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)}\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0f(t)g(t)\lim_{(x,y) \to (0,0)} x^ya^b = \frac{a^{b+1}}{a}0^0 = \frac{0}{0}a^b = \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b} = 1 \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b}a^00^b(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{k}{n} x^kx = 0…
자연수 대강 말하면 갯수를 셀 때 사용하는 숫자의 집합. 0부터 시작하느냐 1부터 시작하느냐는 분야마다 취향이 다른데 여기선 0도 자연수에 포함된다고 치자. (1부터 시작할 때의 이점은 소수의 정의가 간편해진다는 것이고, 0부터 시작할 때의 이점은 자연수 집합에 항등원이 포함된다는 것이다.) 보통 \mathbb{N}으로 쓴다. \varnothingnn\{0, 1, \cdots, n-1\}\omega
백분율 Percentage. 어떤 숫자에 대한 다른 숫자의 비율을 나타낼 때, 기준이 되는 숫자를 100으로 봤을 때의 값으로 비율을 표현하는 방법. 예를 들어 사과 다섯 개가 있는데 그 중 두 개를 먹었으면, 남은 세 개는 원래 다섯 개에 비해 60%의 비율을 가진다. 백분율을 나타낼 때는 보통 숫자 뒤에 퍼센트기호(%)를 사용한다. "퍼센트"라는 말 자체는 물론 per cent, 즉 "100 당 ..."에서 온 것.
ECPP Elliptic curve primality proving. 소수 증명 알고리즘으로 일반적인 형태의 숫자가 소수임을 증명할 수 있다. "아마도" 다항시간에 수행되는 알고리즘일 거라는 얘기가 있지만 정확한 수행시간이 알려진 AKS와는 달리 완벽한 증명은 되어 있지 않다. 그래도 AKS보단 빠르다.
집합 0개 이상의 서로 다른 원소들을 담고 있는 수학적 객체. 집합이라는 개념 자체는 오랜 기간동안 알려져 있었으나, 여기에 대한 엄밀한 정의는 집합론이 도래하기 전까지는 이루어지지 않았으며 이로부터 얻어진 결과는 일반적인 직관을 훨씬 뛰어넘는 것이었다. 덕택에 오늘날 집합론은 현대 수학의 가장 맨 밑바닥에 있는 기초적인 이론으로 여겨지며 깊게 연구되고 있다. 수1 맨 처음에 집합론이 있는 게 다른 이유가 아니다\{1, 2, 3\}\emptyset = \{\}\{x^2 \,\vert\, x \in \mathbb{N}\}n(A)|a|a \in AA \subseteq BA \subset B \equiv (A \subseteq B) \wedge \neg(B \subseteq A)A = B \equiv (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)A \cup B = \{x \,\vert\, x \in A \vee x \in B\}A \cap B = \{x \,\vert\…
이항 관계 Binary relation. 주어진 집합의 두 원소(같을 수도 있다)에 대해서 임의로 관계를 지은 것. 물론 어떤 원소는 아무 원소와도 짝이 지어지지 않거나, 둘 이상의 원소와 짝이 지어지거나, 자기와 짝이 지어지거나 안 지어지거나 할 수 있다. 기호로 나타내면 집합 X에 대한 이항 관계 R은 곱집합 X \times X = X^2의 부분집합이고, (a,b) \in R이면 간단하게 a\,R\,b, 그렇지 않으면 a\not\!R\,b로 표현한다.=\le…
3차원 공간(\mathbb{R}^3)의 한 점으로부터 일정한 (양의) 거리만큼 떨어진 점들의 집합. 만약 일정한 거리만큼 또는 그보다 적게 떨어진 점들의 집합이라면 공(ball)이 된다. 2차원 공간의 원과 대응되며 임의 차원의 유클리드 공간에 대응하는 개념은 초구(n-sphere; 구는 n=2)이다.
괴델 넘버링 Kurt Goedel이 불완전성정리를 증명하기 위해서 도입한 개념. 구체적으로, 괴델 넘버링 \phi는 수식과 같은 수학적 객체와 자연수의 부분집합 사이에 정의된 임의의 일대일 관계로 그 변환과 역변환 과정이 모두 함수로 정의되어야 한다. 꼭 그래야 하는 건 아니지만 변환 및 역변환 함수가 원시재귀함수인 편이 좀 더 다양한 활용이 가능할 듯.2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot 5^{x_3}\cdots
소수의 무한성 "소수는 무한히 많다"라는 정리. 좀 더 정확히는, 어떤 소수 p에 대해서도 그보다 큰 새로운 소수 p'가 존재한다는 정리이다: \forall p \in \mathbb{P}.\, \exists p' \in \mathbb{P}.\, p' > p (Metamath: infpn) 초등적 증명 이 정리의 증명은 여러 방법으로 가능하지만, 가장 간단하고 유클리드가 저서 《원론》에서 사용했던 것과 유사한 방법은 다음과 같다:\mathbb{P} = \{p_1, p_2, \cdots, p_n\}p_1 < p_2 < \cdots < p_np' = \prod_{i=1}^n p_i + 1\mathbb{P}p' \not\in \mathbb{P}p_ip' \equiv 1 \pmod{p_i}p'p \not\in \mathbb{P}p'…
셀룰러 오토마타 Cellular automaton (CA). 수학적 모델로, 유한한 갯수의 "상태" 중 하나를 가질 수 있는 독립적인 "셀"들로 이루어진 공간이 있고, 각 셀들의 상태가 이산적인 시간에 따라 주변(즉, 유한한 갯수의) 셀의 상태에만 지역적으로 영향을 받는다는 가정 하에 셀들의 반응과 그로부터 생겨나는 구조를 연구하는 목적으로 쓰인다. 복잡계나 이론전산학 등에서 종종 연구되며, 인공생명의 맥락에서 생물학에서 연구하기도 한다.…
불법 소수 Illegal prime. 법적으로 그 사용이 제한될 수 있는 소수를 이른다. 사실 숫자에 법적인 제한이 가해진다는 점부터 일단 뭔가 알 수 없지만... 소수는 아니지만 AACS암호화키 09 F9 11 02 9D 74 E3 5B D8 41 56 C5 63 56 88 C0도 참조.
부분 순서 Partial order. 이항 관계의 특수한 형태로 반사관계(reflexivity), 비대칭관계(antisymmetry), 추이관계(transitivity)를 만족하는 이항 관계를 이른다. 즉 부분 순서 R \subseteq X \times X은 다음 관계를 만족한다:\forall a \in X.\, (a,a) \in R\forall a \in X.\, \forall b \in X.\, \left( a \ne b \wedge (a,b) \in R \right) \rightarrow (b,a) \notin R\forall a \in X.\, \forall b \in X.\, \forall c \in X.\, \left( (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \right) \rightarrow (a,c) \in RRX(a,b) \notin R \wedge (b,a) \notin Ra,\,b \in X…
페르마의 마지막 정리 페르마가 남긴 수많은 정리들 중 가장 마지막까지 안 증명되었던 것으로 유명한 정리. Andrew Wiles가 1995년에 풀어 낼 때까지 300여년간을 미증명 상태로 남아 있었다. 영어권에서는 FLT라고 많이 줄여 쓴다.\neg \left(\exists (a,b,c,n) \in \mathbb{N}^4.\, (n>2) \wedge (a^n + b^n = c^n)\right)
Ponder This <http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/pages/index.html> 다달이 나오는 수학퍼즐 시리즈. IBM 연구자들이 출제한다. lifthrasiir는 아주 쉬운 2009년 10월 문제와 2010년 1월 문제만 풀었다... 웹사이트, 수학
수학 Mathematics. 숫자를 다루는 방법에서 시작하였지만 사실 수학에서 숫자는 기믹일 뿐, 현대 수학은 세상 모든 것을 수학적인 방법으로 추상화하고(순수 수학) 그 응용을 찾는(응용 수학) 학문이다. 이 추상화라는 게 보통 사람이 보기에는 굉장히 높은 수준이라 뜬구름잡는 판타지로 보이기 십상이다만.
소수 약수가 정확히 두 개(1 또는 자기 자신)인 자연수. 흔히 \mathbb{P}로 쓴다. 소수의 집합은 가산 무한집합(증명은 소수의 무한성을 참고하라)이며 모든 자연수는 그 약수의 갯수에 따라 1(한 개), 소수(두 개), 합성수(세 개 이상)로 나눌 수 있다.
무정의 용어 수학적으로 말하자면 "점", "선", "면" 같은 것들을 무정의 용어라고 부른다...라고 학교에서는 배운다. 물론 유클리드는 이렇게 안 했다 카더라. 사실 무정의 용어가 정말로 정의가 안 되어 있는 건 아니다. 현대 수학 체계는 강력한 공리계 위에 세워져 있어서 특정한 공리를 만족하는 무언가(다른 수학적 객체나 현실의 물체나 등등)를 그렇게 부른다라고 약속하는 것이다. 예를 들어 직선을 조금 더 엄밀하게 정의하면 두 점을 지나는 직선이 항상 존재하며 두 직선은 많아봐야 한 개의 교차점만을 지닌다 따위의 공리가 등장하는데, 이 정의를 구 위에서 만족하는 수학적 객체는 다름이 아니라 대원(다른 말로 하면, 구의 중심을 지나는 면과 구 표면의 교차선)이다. 이런 상황을 방지하기 위해 추가적인 공리를 추가할 수도 있지만 보통 다른 공리와 충돌할 것이다. 실제로 일부 수학자들은 공리를 빼거나 추가했을 때 얻어지는 새 공리계의 성질을 연구하기도 한다.…
계산 좁은 의미에서는 수식의 단순화로부터, 넓은 의미에서는 잘 정의된 입력을 그에 의존하는 다른 잘 정의된 출력으로 변환하는 모든 과정을 이른다. 전산학의 알고리즘을 계산의 엄밀한 정의로 쓸 수 있을 것이다.
소수 증명 주어진 자연수가 소수임을 증명하는 과정. 숫자가 커질 수록 이 증명 과정은 당연히 어려워지지만 놀랍게도 소수 증명 문제 자체는 다항시간에 풀 수 있다! (AKS 참고) 한편 소인수분해는 소수 증명보다 어려운 것으로 보이지만 확실하진 않다.

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초등 셀룰러 오토마타 Elementary cellular automaton. 1차원으로 배열된, 오로지 두 개의 상태(0과 1)만 가질 수 있는 공간으로 만들 수 있는 가장 간단한 셀룰러 오토마타들. 매 세대마다 각 공간은 주변에 위치한 두 공간 및 자기 자신의 값에 따라 지정된 값으로 변경되는데, 이러한 규칙이 23 = 8개 필요하기 때문에 가능한 초등 셀룰러 오토마타는 총 28 = 256개이다.

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마지막 수정 2011-05-30 18:25 | 외부 편집기