자연수의 정의에 사용되는 공리계. 이 공리계는 모형 (\mathbb{N}, \mathbf{0}, \mathbf{S})의 성질을 정의하며 그 공리는 다음과 같다.
\mathbf{0} \in \mathbb{N}
0은 자연수이다.
\forall x. (x \in \mathbb{N} \rightarrow \mathbf{S}(x) \in \mathbb{N})
모든 자연수에 대한 다음 숫자(successor)가 존재한다.
\neg \exists x. (\mathbf{S}(x) = \mathbf{0})
0은 어느 자연수의 다음 숫자도 될 수 없다.
\forall x. \forall y. (\mathbf{S}(x) = \mathbf{S}(y) \rightarrow x = y)
다음 숫자 관계는 모든 숫자에 대하여 유일하게 결정된다.
\forall \vec y. (\phi(\mathbf{0}, \vec y) \wedge \forall x. (\phi(x, \vec y) \rightarrow \phi(\mathbf{S}(x), \vec y)) \rightarrow \forall x. \phi(x, \vec y))
수학적귀납법이 성립한다.
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