페아노 공리계

자연수의 정의에 사용되는 공리계. 이 공리계는 모형 (\mathbb{N}, \mathbf{0}, \mathbf{S})의 성질을 정의하며 그 공리는 다음과 같다.

  1. \mathbf{0} \in \mathbb{N}
    0은 자연수이다.
  2. \forall x. (x \in \mathbb{N} \rightarrow \mathbf{S}(x) \in \mathbb{N})
    모든 자연수에 대한 다음 숫자(successor)가 존재한다.
  3. \neg \exists x. (\mathbf{S}(x) = \mathbf{0})
    0은 어느 자연수의 다음 숫자도 될 수 없다.
  4. \forall x. \forall y. (\mathbf{S}(x) = \mathbf{S}(y) \rightarrow x = y)
    다음 숫자 관계는 모든 숫자에 대하여 유일하게 결정된다.
  5. \forall \vec y. (\phi(\mathbf{0}, \vec y) \wedge \forall x. (\phi(x, \vec y) \rightarrow \phi(\mathbf{S}(x), \vec y)) \rightarrow \forall x. \phi(x, \vec y))
    수학적귀납법이 성립한다.1)
1) 이 관계는 1차 술어논리로 많이 정의되지만 2차 논리로도 정의할 수 있고, 이 경우 모든 자연수의 모형이 동형(isomorphic)임을 추가적으로 증명할 수 있다.

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마지막 수정 2011-05-30 18:25 | 외부 편집기