숫자

또는 "수"(數). 갯수를 세거나 양을 재는 데 쓰이는 수학적대상, 또는 그 대상을 나타내는 데 쓰는 이름들. 수학의 이름에 들어 있기 때문에 수학은 숫자에 대한 학문이라고 생각하기 쉬우나, 숫자는 수학의 출발일 뿐 그 이상, 그 이하의 의미를 가지고 있지는 않다.

숫자의 기본적인 역할은 "양 세 마리", "나무 세 그루", "조약돌 세 개" 같은 것들에서 공통적으로 관찰되는 "셋"이라는 개념을 수학적으로 풀이한 것이다. 따라서 양 세 마리 다음에 오는 것은 양 네 마리고, 나무 세 그루 다음에 오는 것은 네 그루이고, …이므로 "셋"이라는 추상적인 개념 다음에 오는 것(현대적으로 말하자면, 따름함수)은 "넷"이라는 또 다른 추상적인 개념이 된다. 이렇게 개념을 추상화하면 "양이 몇 마리가 있더라도 (양이 충분히 많다면) 항상 더 많은 양을 데려 올 수 있다"와 같은 구체적인 말을 "어떤 자연수에서도 그보다 큰 자연수는 항상 존재한다"라는 추상적인 말로 바꿀 수 있고, 이런 추상적인 사고가 수학의 출발이었음은 부정할 수 없을 것이다.

역사

보통 최초로 체계화된 숫자는 (위에서 봤듯이) 자연수(\mathbb N)로 보고, 자연수에 0을 넣어서 정수(\mathbb Z)로 확장이 되는 데는 상당한 시간(아주 늦게는 17세기까지)이 걸렸다. 그러나 정수는 다른 숫자들을 정의하는 데 매우 중요한 역할을 하는데, 이 점은 Leopold Kronecker의 다음 명언에서도 잘 표현되어 있다.

신이 정수를 만들었고, 나머지는 인간의 창작이다.
God made the integers, all the rest is the work of man.

정수는 갯수를 세는 용도로는 충분하지만 양이라는 개념을 추상화하는데는 부족했기 때문에, 정수 두 개로 이루어진 비율을 추상화하는 유리수(\mathbb Q)가 등장했다. 지금 설명하는 순서와는 달리, 유리수는 사실 음수보다 더 빨리 등장했는데 비율이라는 개념이 음수라는 개념의 "해석"보다 훨씬 더 직관적이라서 그런 것이 아닐까 싶다.

유리수는 숫자의 실용적인 목적으로는 사실상 완전한 체계였지만, 수학적으로 추상화를 하던 과정에서 유리수를 빠져 나오는 숫자의 예시가 꾸준히 발견되면서 도전을 받게 된다. 대표적인 숫자가 2의제곱근(\sqrt 2)으로, 이 숫자는 "제곱하면 2가 되는 수"라는 지극히 멀쩡하고 간단한 설명을 가지고 있지만 유리수가 아니라는 점이 기원전에 이미 밝혀져 있었다. 이 때문에 유리수가 아닌 숫자 무리수와, 이 둘을 아우르는 실수(\mathbb R)의 개념이 필요해졌으며 이는 19세기가 되어서야 명확히 정의가 된다. 실수는 완비성을 갖추고 있으며, 이 때문에 우리가 생각하는 "양"이라는 개념을 온전히 추상화하게 된다.

실수 이후의 확장은 현실적인 이유보다는 추상화 과정에서 나타난 어려움들을 해결하기 위해 진행되었다고 보는 것이 옳다. 예를 들어, 실수의 확장인 복소수(\mathbb C)는 "제곱하면 음수가 되는 수"와 같은 개념을 정의하기 위해 만들어진 개념이었으나 꼭 필요한 건 아니었다. (0으로나누기가 정의가 되지 않은 것과 마찬가지 방법으로, 음수의 제곱근 또한 굳이 존재한다고 정의할 필요는 없다.) 이 때문에 음수의 제곱근에 대응하는 허수는 "가짜" 숫자라는 오명(?)을 뒤집어 쓰게 된다. 하지만 복소수 또한 "양"이라는 개념에는 바로 대응되지는 않지만 현실에서도 여러 쓸모를 가지고 있다는 게 밝혀지면서 이 오명은 다행히도 사라지게 된다. 복소수는 사원수, 팔원수 등으로 꾸준히 확장되고, 정수를 다른 방법으로 확장(p진수 등)하는 방법도 현대에는 많이 알려져 있으나, 현실적으로는 복소수가 보통 쓰이는 숫자 중에서는 가장 큰 분류라 할 수 있다.

숫자의 분류

같이 보기

1) 정의에 따라서는 0을 자연수에 넣을 때도 있고 아닐 때도 있다.

도쿠위키DokuWiki-custom(rev 9085d92e02)을 씁니다.
마지막 수정 2011-08-15 16:38 | 작성자 lifthrasiir