0⁠

−1보다 크고 1보다 작은 정수. 정의에 따라서는 이 숫자를 자연수로 보는 경우도 있고 아닐 때도 있다. (0은 자연수인가? 참고) 0은 덧셈항등원이자 곱셈영원소이며, 따라서 소인수분해가 존재하지 않는다.

0은 자연수의 경계에 걸쳐 있는 숫자이기 때문에 여러 수학 함수의 정의를 복잡하게 만드는 데 한 몫을 한다. (종종 아예 0에 대한 경우가 정의되지 않은 경우도 있다!) 한편으로는 수학적귀납법에서 널리 쓰이는 기본 경우(base case)이기도 하다. 예를 들어서:

  • 0으로나누기는 정의되어 있지 않다. 이 때문에 감마함수와 같은 여러 수학 함수에서도 0에 대한 값이 정의되어 있지 않다.
  • 0의 0제곱은 정의에 따라 그 값이 왔다 갔다 한다.
  • 0의 계승은 1로 정의된다.
  • 0과 어떤 수의 최대공약수는 그 어떤 수의 값으로 정의된다. (유클리드호제법에서 유용하게 쓰인다.)
  • 페아노 공리계에서는 아예 대놓고 0이 아닌 다른 숫자는 "다음 수"(successor) 함수로 만들어 내야 한다.

0은 자연수인가?

0을 자연수로 하느냐 마느냐는 기본적으로 정의의 문제이며, 딱히 올바른 답이 존재하는 건 아니다. 아주 객관적으로 살펴 볼 때 두 선택은 각기 장단점이 있다:

  • 0을 자연수로 하면 자연수를 기수에 직관적으로 대응시킬 수 있다. (이 경우 자연수는 유한집합의 크기에 일대일로 대응된다.) 이는 자연수의 집합론적 정의에도 부합한다.
  • 0을 자연수에서 빼면 산술의기본정리가 단순해진다. 물론 0을 자연수에서 넣는다 해도 0이 아닌 원소…라고 제약을 걸면 되긴 하지만 좀 더럽다.

하지만 대부분의 경우 어느 한 쪽을 선택한다고 정의나 표기가 우월하게 나아지는 경우는 없다. 다만 대체적으로 정수론에서는 0을 빼는 게 편하고, 집합론이나 이산수학에서는 0을 넣는 게 편한 모양이다. 이 때문에 옛날에는 0을 자연수에서 뺐으나, 집합론적 정의가 대세가 된 현대에 들어서는 (넣는 쪽이 일단 정의하기 편하니까) 0을 자연수에 넣는 추세이다.

0을 넣느냐 빼느냐로 괜한 논쟁 하느니 그냥 두 집합을 가르자는 제 3의 세력(…)도 존재한다. 이 경우 0을 포함하는 자연수를 음이아닌정수(\mathbb{N}_0), 0을 포함하지 않는 자연수를 양수(\mathbb{N}_1)라고 부르는 게 보통이다. 문맥으로 구분이 안 되는 상황이라면 이렇게라도 구분하는 게 바람직할 것이다.

같이 보기

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마지막 수정 2011-12-26 07:14 | 작성자 lifthrasiir