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고전 논리
불대수에 기반한 흔히 쓰는 논리 체계. 여러 가지 중요한 특징이 있지만 아마도 가장 중요한 특징은 모든 논리값이 참값이거나 거짓값이거나 둘 중 하나라는 공리를 대놓고 내세우고 있다는 것이다(the law of excluded middle). 만약 이 공리를 넣지 않으면 직관주의 논리계가 탄생한다.
예시
\neg 연산자와 \rightarrow 접속사를 사용하는 다음 명제 논리계는 대표적인 완전하고 안전한 고전 논리계이다. (\wedge, \vee 따위는 이들 연산자를 사용하여 구성된다고 치자.)
\displaystyle \frac{}{\vdash (p \rightarrow (q \rightarrow p))}
\displaystyle \frac{}{\vdash ((p \rightarrow (q \rightarrow r)) \rightarrow ((p \rightarrow q) \rightarrow (p \rightarrow r)))}
\displaystyle \frac{}{\vdash ((\neg p \rightarrow \neg q) \rightarrow (q \rightarrow p))}
\displaystyle \frac{\vdash p \quad \vdash (p \rightarrow q)}{\vdash q}
\displaystyle \frac{}{\vdash ((p \rightarrow (q \rightarrow r)) \rightarrow ((p \rightarrow q) \rightarrow (p \rightarrow r)))}
\displaystyle \frac{}{\vdash ((\neg p \rightarrow \neg q) \rightarrow (q \rightarrow p))}
\displaystyle \frac{\vdash p \quad \vdash (p \rightarrow q)}{\vdash q}
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