집합
0개 이상의 서로 다른 원소들을 담고 있는 수학적 객체.
집합이라는 개념 자체는 오랜 기간동안 알려져 있었으나, 여기에 대한 엄밀한 정의는 집합론이 도래하기 전까지는 이루어지지 않았으며 이로부터 얻어진 결과는 일반적인 직관을 훨씬 뛰어넘는 것이었다. 덕택에 오늘날 집합론은 현대 수학의 가장 맨 밑바닥에 있는 기초적인 이론으로 여겨지며 깊게 연구되고 있다. 수1 맨 처음에 집합론이 있는 게 다른 이유가 아니다
선언과 연산
엄밀한 정의를 일단 무시하고 진행하면, 일반적으로 집합은 다음과 같은 두 가지 방법에 의하여 선언할 수 있으며:
- 조건제시법 — \{x^2 \,\vert\, x \in \mathbb{N}\}과 같이 집합에 들어 가는 원소들이 어떤 조건을 가지고 있는지 나열하는 것.
다음과 같은 연산이 보통 사용된다:
- 집합의 크기: n(A) 또는 |a|
- 원소의 포함 여부: a \in A
- 부분집합: A \subseteq B
- 진부분집합: A \subset B \equiv (A \subseteq B) \wedge \neg(B \subseteq A)
- 집합의 동치: A = B \equiv (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)
- 합집합: A \cup B = \{x \,\vert\, x \in A \vee x \in B\}
- 교집합: A \cap B = \{x \,\vert\, x \in A \wedge x \in B\}
- 차집합: A \backslash B = \{x \,\vert\, x \in A \wedge x \notin B\}
- 곱집합(Cartesian product): A \times B = \{(x,y) \,\vert\, x \in A \wedge y \in B\}
- 멱집합(power set): \mathcal{P}(A) = 2^A = \{a \,\vert\, a \subseteq A\} (이 정의에 따르면 부분집합을 멱집합과 원소 포함만으로 기술할 수 있다.)
정의
위에서 나열한 집합의 선언 방법은 소박한집합론(naive set theory)에 의한 것으로, 일반적인 용도로는 이 정도로도 충분하다. 하지만 집합을 포함하는 집합에 대한 엄밀한 정의를 고민하기 시작하면 온갖 역설이 등장하는데, 이를테면 러셀의역설은 다음과 같이 정의된 집합 X가:
자기 자신을 포함할 수도(X \in X) 포함하지 않을 수도(X \notin X) 없음을 보인다. 즉 집합의 기본적인 개념 — 어떤 집합은 특정 원소를 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나이다 — 자체를 부정하는 결과를 낳는 것이다.
이 때문에 소박한 집합론에서 벗어나서 공리계로 정의된 엄밀한 집합론의 필요성이 대두되었고, 그 결과로 집합의 집합에 일정한 제약을 가하는 방법으로 역설을 피해간 여러 집합론이 생겨났다. 대표적으로:
- 체르멜로프란켈집합론 + 선택공리 (ZFC): 모든 것을 집합으로 모델링하되, 다른 집합으로부터 새로운 집합을 만들 때 사용하는 조건제시법에 제약을 추가함.
- 폰노이만베르나이괴델집합론 (NBG): 집합 외에 진모임(proper class)의 개념을 추가하여, 역설이 나타나는 모든 "집합"이 실제로는 진모임임을 보임.
이 중 가장 많이 쓰이며 가장 깊게 연구된 집합론은 ZFC이며 따라서 ZFC를 기준으로 이야기를 풀어 나가는 게 보통이다.
