Without Loss of Generality

"일반성을 잃지 않고". 수학 증명에서 흔히 나오는 표현으로, 관사 정도의 차이는 있지만 대부분 저렇게 쓴다. 증명이 여러 부분으로 나눠지는데 각 부분이 대칭적이어서 한 부분만 서술하고 나머지를 복붙해도 될 경우, "일반성을 잃지 않고 …라고 가정한다" 식으로 쓰는 게 보통.

예를 들어서, "검은 양말과 흰 양말이 동등하게 무한히 많이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 양말을 꺼내서 같은 색깔로 짝을 맞추고 싶을 때 최대 몇 개나 꺼내야 하는가?"라는 문제에 대한 답은 다음과 같이 된다:

3짝. 일반성을 잃지 않고 첫번째로 꺼낸 양말이 흰색이라고 가정하자. 두번째로 꺼낸 양말이 흰색이면 첫번째로 꺼낸 것과 짝이 맞으므로 2짝으로 충분하다. 두번째로 꺼낸 양말이 검은색이라면 양말을 한 짝 더 꺼낸다. 세번째로 꺼낸 양말이 검은색이면 두번째로 꺼낸 것과 짝이 맞고, 흰색이면 첫번째로 꺼낸 것과 짝이 맞는다. 따라서 3짝으로 충분하다.

물론, 여기서 생략된 내용은 다음과 같다. 앞의 증명과 뭐가 다른지를 잘 살펴 보라.

이제 반대로, 첫번째로 꺼낸 양말이 검은색이라고 가정하자. 두번째로 꺼낸 양말이 검은색이면 첫번째로 꺼낸 것과 짝이 맞으므로 2짝으로 충분하다. 두번째로 꺼낸 양말이 흰색이라면 양말을 한 짝 더 꺼낸다. 세번째로 꺼낸 양말이 흰색이면 두번째로 꺼낸 것과 짝이 맞고, 검은색이라면 첫번째로 꺼낸 것과 짝이 맞는다. 따라서 3짝으로 충분하다.

이 말을 쓰려면 증명의 반복되는 부분에서 서로 다른 부분이 어떤 형태이고, 그 형태가 대칭성 등을 통해 생략이 가능하다는 것을 암묵적으로든 명시적으로든 밝혀야 한다. 그래서 이 말을 사용하는 증명은 엄밀하게 말하면 증명 "스키마"¹⁾가 되는데 너무 많은 부분을 생략하면 with loss of generality가 될 수 있으므로(…) 적절한 서술이 필요하다.