투표 제도

투표를 구체적으로 구현하는 방법.

가능한 안 A = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}에 대하여 선호 순서의 집합 \langle A \rangle는 A의 각 원소에 대한 모든 순열(즉, 선호 순서)의 집합으로, 다음과 같이 정의한다.

이제 n명의 투표자가 있을 때 "사회 복지 함수" f : \langle A \rangle^n \rightarrow \langle A \rangle를 생각할 수 있다. 이 함수는 n명의 투표자로부터 어떤 형태로든 선호되는 안 또는 그 집합을 받아다가 전체 투표자의 의중을 반영하는 최적의 안 또는 그 집합을 골라 내는 역할을 한다. 보통 흔히 생각할 수 있는 사회 복지 함수의 좋은 성질은:

• 모든 투표자가 X를 Y보다 선호하면 f의 결과도 X를 Y보다 선호해야 한다.
• 어느 투표자도 최종 선호 순서의 일부 또는 전체를 완전히 좌지우지할 수 없다.
• 전략적투표가 불필요하다. 즉,
  • 다른 안들에 대한 선호 순서가 바뀌지 않은 채 새 안이 추가되었을 때, 그 안에 대한 투표자들의 상대적인 선호와 상관 없이 원래 안들에 대한 최종 선호 순서는 변하지 말아야 한다. (독립성 원리[IIA]라고 부른다.)
  • 완전히 동일한 후보가 여럿 나왔다는 이유로 최종 선호 순서에서 동일한 후보들 사이의 순서 말고 다른 순서가 영향을 받지 않아야 한다. (이 문제는 다수결 투표의 가장 큰 문제로 지적되곤 한다.)
• 투표자의 선택에 따라 어떤 형태의 최종 선호 순서도 가능해야 한다.

Kenneth Arrow는 이들 성질을 모두 만족하는 사회 복지 함수 f가 일반적으로 존재하지 않음을 증명했다. (f가 존재하는 경우는 투표자가 한 사람일 경우거나 안이 두 개 밖에 없을 경우 뿐이다.) 혹자는 이들 성질 중 일부가 필요 이상으로 강력하다고 주장한다(특히 IIA가). 어쨌든 이 정리에서 중요한 건, 투표 제도는 어차피 완벽할 수 없으니까 무엇을 희생할 것인지를 정해야 한다는 점이다.

• 다수결 — 첫째로 선호하는 사람이 많은 안이 선택됨.
• 결선투표 — 다수결과 동일하게 하되, 과반수를 넘는 안이 없으면 가장 많이 선택된 두 안으로 2차 투표를 진행함.
• 즉석결선투표(IRV) — 결선투표를 여러 단계로 쪼갠 것으로, 매 단계마다 과반수가 나타나지 않으면 가장 적게 선택된 안을 날리고 나머지에 대해서 가장 선호하는 안을 고르게 함. 이게 왜 "즉석"이 되냐 하면 실제로는 선호 순서를 한 번에 모두 써 낸 뒤 가장 선호 순서가 높은 것들만 다수결 식으로 합산하기 때문임.
• 승인투표 — 선호하는 안들을 모두(하나가 아니라) 선택하여, 가장 많이 선택된 안이 선택됨. (다수결의 자연스런 확장으로 볼 수 있음)
• 보다산출법 — 선호 순서에 따라 점수를 차등적으로 줘서 그 점수를 합산한 것이 가장 높은 안이 선택됨.
• 더 쓰기 귀찮다

Ka-Ping Yee의 투표 제도 시각화가 볼만하다.