====== 0의 0제곱 ======

0<sup>0</sup>. [[거듭제곱]]의 특수한 경우로, 대부분의 교과 과정에서는 [[0으로나누기]]와 같이 [[부정형]]으로 본다. 이는 다음 두 가지 사실에서 유래하는데,

  * $$x^0$$은 $$x$$가 0이 아닐 때는 항상 1이다.
  * $$0^y$$는 $$y$$가 0보다 클 때는 항상 0이다.

0<sup>0</sup>은 이 두 경우를 확장했을 때 겹치는 값이기 때문에 둘 중 하나를 딱히 결정할 수는 없다. 좀 더 정확히 말하면, $$\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)}$$은 아무리 $$\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0$$이더라도 $$f(t)$$와 $$g(t)$$에 따라서 다른 [[극한]]값이 나올 수 있기 때문에 $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} x^y$$는 부정형이다.

이 논리의 가장 큰 문제는 0<sup>0</sup>의 값을 **정의**하는 것은 0<sup>0</sup>에 대응하는 극한값의 존재와는 전혀 무관하다는 것이다. 0으로 나누는 것과는 달리, 0<sup>0</sup>은 거듭제곱에 관련된 항등식들((이를테면, $$a^b = \frac{a^{b+1}}{a}$$을 이 경우에 대입하면 $$0^0 = \frac{0}{0}$$이라는 결과가 되는데, 우변이 0으로 나누기 때문에 등식 자체가 성립하지 않는다(당연하지만 이걸 두고 좌변이 우변과 같이 부정형이라고 주장할 수는 없다). 사실 0의 0제곱을 "정의"할 수 있는 이유 중 상당수가 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문이기도 하다.))을 크게 건드리지 않고 정의할 수가 있다.

===== 0^0 = 1 =====

만약 0<sup>0</sup>을 정의해야 한다면 가장 좋은 값은 **0<sup>0</sup> = 1**이다. 가장 큰 이유는 거듭제곱의 정의에서 유래하는데, 만약:

<.center>$$a^b = \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b} = 1 \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b}$$</>

라는 정의를 받아 들이면 $$a^0$$는 어떤 a에 대해서도 1인게 자연스럽다. 반면 $$0^b$$의 정의를 확장하는 것만으론 이런 직관적인 결과를 얻을 수 없다.

0<sup>0</sup>을 1로 정의하면 특히 [[조합수학]]과 [[집합론]]에서 예외적인 경우를 크게 줄일 수 있다. 예를 들어 [[이항법칙]] $$(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{k}{n} x^k$$은 0<sup>0</sup>이 정의되어 있지 않으면 $$x = 0$$일 때 아예 정의되지 않는다. 이런 이유 때문에 컴퓨터에서는 0<sup>0</sup> = 1로 정의된 경우가 많다. (대표적으로 [[IEEE 754]] ''pow'' 함수)

{{tag>숫자 수학}}