====== 페아노 공리계 ======

[[자연수]]의 정의에 사용되는 [[공리계]]. 이 공리계는 [[모형]] $$(\mathbb{N}, \mathbf{0}, \mathbf{S})$$의 성질을 정의하며 그 공리는 다음과 같다.

  - $$\mathbf{0} \in \mathbb{N}$$ \\ 0은 자연수이다.
  - $$\forall x. (x \in \mathbb{N} \rightarrow \mathbf{S}(x) \in \mathbb{N})$$ \\ 모든 자연수에 대한 다음 숫자(successor)가 존재한다.
  - $$\neg \exists x. (\mathbf{S}(x) = \mathbf{0})$$ \\ 0은 어느 자연수의 다음 숫자도 될 수 없다.
  - $$\forall x. \forall y. (\mathbf{S}(x) = \mathbf{S}(y) \rightarrow x = y)$$ \\ 다음 숫자 관계는 모든 숫자에 대하여 유일하게 결정된다.
  - $$\forall \vec y. (\phi(\mathbf{0}, \vec y) \wedge \forall x. (\phi(x, \vec y) \rightarrow \phi(\mathbf{S}(x), \vec y)) \rightarrow \forall x. \phi(x, \vec y))$$ \\ [[수학적귀납법]]이 성립한다.((이 관계는 1차 [[술어논리]]로 많이 정의되지만 2차 논리로도 정의할 수 있고, 이 경우 모든 자연수의 모형이 동형(isomorphic)임을 추가적으로 증명할 수 있다.))

{{tag>논리학}}