====== 자연수 ======

대강 말하면 갯수를 셀 때 사용하는 [[숫자]]의 [[집합]]. 0부터 시작하느냐 1부터 시작하느냐는 분야마다 취향이 다른데 여기선 0도 자연수에 포함된다고 치자. (1부터 시작할 때의 이점은 [[소수]]의 정의가 간편해진다는 것이고, 0부터 시작할 때의 이점은 자연수 집합에 [[항등원]]이 포함된다는 것이다.) 보통 $$\mathbb{N}$$으로 쓴다. 

"자연수"라는 이름은 아마도 갯수를 세는 것이 인류 최초의 [[수학]]적 행위였을 거라는 추측에서 나왔으리라. "자연수는 [[신]]이 만든 것이요 나머지는 인간의 창조물이다"라는 <del>[[개드립]]</del>얘기가 종종 돌아 다니는데((이 말은 정확히는 [[Leopold Kronecker]]가 한 것인데, 여기서는 자연수가 아니라 **[[정수]]**가 나온다. 아무래도 Kronecker는 정수를 통한 수학의 공식화를 꿈꾼 사람이었으니 그럴 만도 하다.)) 일면 아주 틀린 말은 아니다. 바꿔 말하면 다른 모든 수 체계가 자연수에 의존하기 때문에 자연수의 엄밀한 정의는 수학 전체를 좌지우지하는 중요한 역할을 한다. 보통 여기에는 [[페아노공리계]]를 쓴다.

===== 표준 구성 =====

[[집합론]]적으로 흔히 쓰이는 자연수의 구성은 다음과 같다.

  * 숫자 0은 공집합 $$\varnothing$$과 같다.
  * 0보다 큰 숫자 $$n$$은 $$n$$보다 작은 자연수의 집합, 즉 $$\{0, 1, \cdots, n-1\}$$와 같다.

이 구성은 페아노 공리계를 만족할 뿐만 아니라 숫자에 대한 집합의 크기가 원래 숫자와 대응하는 좋은 성질을 가지고 있다. 또한 모든 자연수의 집합 $$\omega$$를 생각하면 [[초한수]]로 쉽게 확장된다는 장점도 있다.

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