====== 위치 기수법 ======

Positional numeral system 또는 place-value notation. [[유한]]한 수의 기호를 사용하여, 기호의 위치에 따라 그 값을 결정하여 [[숫자]]를 표기하는 [[기수법]]. 아무리 큰 숫자를 표기하더라도 기호의 갯수가 늘어날 뿐 기호 자체를 확장할 필요가 없기 때문에 비위치 기수법에 비해 효율이 좋으며, 대부분의 "현대적인" 기수법, 특히 [[십진법]]은 위치 기수법이다.((사실 "현대적"이라고 말하긴 했으나 최초의 위치 기수법이 쓰였던 [[쐐기문자]]는 **최초의 문자들 중 하나**였다. 단지 세계적으로 보편화된 게 좀 늦어서 그럴 뿐.))

기호 //b//개를 사용하는 위치 기수법은 [[숫자0]], [[1]], ..., //b//-1까지에 대응하는 기호가 하나씩 존재하며, $$x_n x_{n-1} \cdots x_0$$으로 표기된 숫자의 값은 다음과 같다:
<.center>$$(x_n x_{n-1} \cdots x_0)_{(b)} = x_n b^n + x_{n-1} b^{n-1} + \cdots + x_0$$</>
비슷하게, [[소숫점]]이 있는 $$x_n \cdots x_0 . x_{-1} \cdots x_{-m}$$의 값은 다음과 같다:
<.center>$$(x_n \cdots x_0 . x_{-1} \cdots x_{-m})_{(b)} = (x_n \cdots x_0)_{(b)} + x_{-1} b^{-1} + \cdots + x_{-m} b^{-m}$$</>
이는 $$m$$이 무한할 때도 [[무한급수]]의 합으로 자연스럽게 확장된다. 다만 이 경우 모든 숫자에 대해 유한한 표기가 존재한다는 특성은 포기해야 한다([[1과0.999...|1 = 0.999...]]니까).

십진법이 아닌 위치 기수법을 쓸 때는 보통의 숫자와 해당 기수법으로 쓰인 숫자를 혼동하기 쉽기 때문에 (//b//)와 같은 [[아래첨자]]를 쓰는 게 보통이다. 또한 십일진법 이상의 기수법에서는 10보다 작은 자릿수를 십진법과 똑같이 쓰고, 그 이상을 [[로마자]] A부터 순서대로 나열하거나 하는 등의 방법으로 자리를 정하는 게 보통이다. (어차피 무슨 기호를 써도 //b//가 똑같으면 [[동형사상|똑같은]] 기수법이 된다는 걸 기억하자.)

===== 목록 =====

  * [[이진법]] (//b// = 2)
  * [[삼진법]] (//b// = 3)
  * [[오진법]] (//b// = 5)
  * [[팔진법]] (//b// = 8)
  * [[십진법]] (//b// = 10)
  * [[십이진법]] (//b// = 12)
  * [[십육진법]] (//b// = 16)
  * [[이십진법]] (//b// = 20)
  * [[육십진법]] (//b// = 60)

다음 위치 기수법은 엄밀히 말해서 위치 기수법의 특징을 위반한다. 이들은 보통 "비표준" 위치 기수법이라 부른다.

  * [[일진법]] (//b// = 1; 모든 정수에 대한 유일한 표현이 존재하지 않음)
  * [[2i진법]] (//b// = 2[[허수단위|i]]; 모든 [[복소수]]를 소숫점 및 [[부호]] 없이 표현)
  * [[황금비진법]] (//b// ≈ [[황금비|1.618]]; [[체확장]] $$\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$$ 안의 모든 [[실수]]를 유한 소수로 표현)

===== 같이 보기 =====

  * [[전사기수법]] (위치 기수법에서 0을 빼고 //b//에 해당하는 기호를 사용할 경우)

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