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0의 0제곱

00. 거듭제곱의 특수한 경우로, 대부분의 교과 과정에서는 0으로나누기와 같이 부정형으로 본다. 이는 다음 두 가지 사실에서 유래하는데,

  • x^0x가 0이 아닐 때는 항상 1이다.
  • 0^yy가 0보다 클 때는 항상 0이다.

00은 이 두 경우를 확장했을 때 겹치는 값이기 때문에 둘 중 하나를 딱히 결정할 수는 없다. 좀 더 정확히 말하면, \lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)}은 아무리 \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0이더라도 f(t)g(t)에 따라서 다른 극한값이 나올 수 있기 때문에 \lim_{(x,y) \to (0,0)} x^y는 부정형이다.

이 논리의 가장 큰 문제는 00의 값을 정의하는 것은 00에 대응하는 극한값의 존재와는 전혀 무관하다는 것이다. 0으로 나누는 것과는 달리, 00은 거듭제곱에 관련된 항등식들1)을 크게 건드리지 않고 정의할 수가 있다.

0^0 = 1

만약 00을 정의해야 한다면 가장 좋은 값은 00 = 1이다. 가장 큰 이유는 거듭제곱의 정의에서 유래하는데, 만약:

a^b = \overbrace{a \times \cdots a}^{b} = 1 \times \overbrace{a \times \cdots a}^{b}

라는 정의를 받아 들이면 a^0는 어떤 a에 대해서도 1인게 자연스럽다. 반면 0^b의 정의를 확장하는 것만으론 이런 직관적인 결과를 얻을 수 없다.

00을 1로 정의하면 특히 조합수학집합론에서 예외적인 경우를 크게 줄일 수 있다. 예를 들어 이항법칙 (1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{k}{n} x^k은 00이 정의되어 있지 않으면 x = 0일 때 아예 정의되지 않는다. 이런 이유 때문에 컴퓨터에서는 00 = 1로 정의된 경우가 많다. (대표적으로 IEEE 754 pow 함수)

1) 이를테면, a^b = \frac{a^{b+1}}{a}을 이 경우에 대입하면 0^0 = \frac{0}{0}이라는 결과가 되는데, 우변이 0으로 나누기 때문에 등식 자체가 성립하지 않는다(당연하지만 이걸 두고 좌변이 우변과 같이 부정형이라고 주장할 수는 없다). 사실 0의 0제곱을 "정의"할 수 있는 이유 중 상당수가 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문이기도 하다.

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마지막 수정 2011-08-31 07:04 | 작성자 lifthrasiir