차이점

이 페이지의 선택한 이전 버전과 현재 버전 사이의 차이점을 보여줍니다.

차이 보기로 연결

집합 [2011-05-30 18:25] (현재)
줄 1: 줄 1:
 +====== 집합 ======
  
 +0개 이상의 서로 다른 원소들을 담고 있는 [[수학]]적 객체.
 +
 +집합이라는 개념 자체는 오랜 기간동안 알려져 있었으나, 여기에 대한 엄밀한 정의는 [[집합론]]이 도래하기 전까지는 이루어지지 않았으며 이로부터 얻어진 결과는 일반적인 직관을 훨씬 뛰어넘는 것이었다. 덕택에 오늘날 집합론은 현대 수학의 가장 맨 밑바닥에 있는 기초적인 이론으로 여겨지며 깊게 연구되고 있다. <del>[[수1]] 맨 처음에 집합론이 있는 게 다른 이유가 아니다</del>
 +
 +===== 선언과 연산 =====
 +
 +엄밀한 정의를 일단 무시하고 진행하면, 일반적으로 집합은 다음과 같은 두 가지 방법에 의하여 선언할 수 있으며:
 +
 +  * 원소 나열법 --- $$\{1, 2, 3\}$$과 같이 집합에 들어 가는 원소의 목록을 일일이 나열하는 것으로, [[유한집합]]에서만 사용할 수 있다. [[빈집합]] $$\emptyset = \{\}$$도 여기에 포함된다.
 +  * [[조건제시법]] --- $$\{x^2 \,\vert\, x \in \mathbb{N}\}$$과 같이 집합에 들어 가는 원소들이 어떤 조건을 가지고 있는지 나열하는 것.
 +
 +다음과 같은 연산이 보통 사용된다:
 +
 +  * 집합의 크기: $$n(A)$$ 또는 $$|a|$$
 +  * 원소의 포함 여부: $$a \in A$$
 +  * [[부분집합]]: $$A \subseteq B$$
 +    * [[진부분집합]]: $$A \subset B \equiv (A \subseteq B) \wedge \neg(B \subseteq A)$$
 +    * 집합의 동치: $$A = B \equiv (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)$$
 +  * [[합집합]]: $$A \cup B = \{x \,\vert\, x \in A \vee x \in B\}$$
 +  * [[교집합]]: $$A \cap B = \{x \,\vert\, x \in A \wedge x \in B\}$$
 +  * [[차집합]]: $$A \backslash B = \{x \,\vert\, x \in A \wedge x \notin B\}$$
 +  * [[여집합]]: $$A^\mathrm{C} = \mathbb{U} \backslash A$$ ([[전체집합]] $$\mathbb{U}$$를 가정할 경우)
 +  * [[곱집합]](Cartesian product): $$A \times B = \{(x,y) \,\vert\, x \in A \wedge y \in B\}$$
 +  * [[멱집합]](power set): $$\mathcal{P}(A) = 2^A = \{a \,\vert\, a \subseteq A\}$$ (이 정의에 따르면 부분집합을 멱집합과 원소 포함만으로 기술할 수 있다.)
 +
 +===== 정의 =====
 +
 +위에서 나열한 집합의 선언 방법은 [[소박한집합론]](naive set theory)에 의한 것으로, 일반적인 용도로는 이 정도로도 충분하다. 하지만 집합을 포함하는 집합에 대한 엄밀한 정의를 고민하기 시작하면 온갖 [[역설]]이 등장하는데, 이를테면 [[러셀의역설]]은 다음과 같이 정의된 집합 $$X$$가:
 +
 +<.center>$$X = \{x \,\vert\, set(x) \wedge x \notin x\}$$</>
 +
 +자기 자신을 포함할 수도($$X \in X$$) 포함하지 않을 수도($$X \notin X$$) 없음을 보인다. 즉 집합의 기본적인 개념 --- 어떤 집합은 특정 원소를 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나이다 --- 자체를 부정하는 결과를 낳는 것이다.
 +
 +이 때문에 소박한 집합론에서 벗어나서 [[공리계]]로 정의된 엄밀한 집합론의 필요성이 대두되었고, 그 결과로 집합의 집합에 일정한 제약을 가하는 방법으로 역설을 피해간 여러 집합론이 생겨났다. 대표적으로:
 +
 +  * [[체르멜로프란켈집합론]] + [[선택공리]] (ZFC): 모든 것을 집합으로 모델링하되, 다른 집합으로부터 새로운 집합을 만들 때 사용하는 조건제시법에 제약을 추가함.
 +  * [[폰노이만베르나이괴델집합론]] (NBG): 집합 외에 [[진모임]](proper class)의 개념을 추가하여, 역설이 나타나는 모든 "집합"이 실제로는 진모임임을 보임.
 +  * [[근원원소]](urelement)를 추가한 [[새기초집합론]] (NFU): [[타입이론]]에 기반하여 원소 포함 및 부분집합을 체크할 수 있는 대상의 타입에 제한을 둠.
 +
 +이 중 가장 많이 쓰이며 가장 깊게 연구된 집합론은 ZFC이며 따라서 ZFC를 기준으로 이야기를 풀어 나가는 게 보통이다.
 +
 +===== 응용 =====
 +
 +집합은 수학에서 온갖 용도로 사용되지만, 그래도 일부 용례를 들면:
 +
 +  * [[이항관계]]는 곱집합 $$A \times A$$의 부분집합으로 정의되며, [[함수]], [[부분순서]] 등이 여기에 포함된다.
 +  * [[자연수]]와 같은 [[수체계]] 또한 집합을 사용하여 모델링할 수 있다. ([[페아노공리계]], [[데데킨드절단]] 등)
 +
 +{{tag>수학}}

도쿠위키DokuWiki-custom(rev 9085d92e02)을 씁니다.
마지막 수정 2011-05-30 18:25 | 외부 편집기