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숫자 [2011-08-15 16:38] (현재)
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 +====== 숫자 ======
  
 +또는 "수"(數). 갯수를 세거나 양을 재는 데 쓰이는 [[수학적대상]], 또는 그 대상을 나타내는 데 쓰는 [[이름]]들. [[수학]]의 이름에 들어 있기 때문에 수학은 숫자에 대한 학문이라고 생각하기 쉬우나, 숫자는 수학의 출발일 뿐 그 이상, 그 이하의 의미를 가지고 있지는 않다.
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 +숫자의 기본적인 역할은 "양 세 마리", "나무 세 그루", "조약돌 세 개" 같은 것들에서 공통적으로 관찰되는 "셋"이라는 개념을 수학적으로 풀이한 것이다. 따라서 양 세 마리 다음에 오는 것은 양 네 마리고, 나무 세 그루 다음에 오는 것은 네 그루이고, ...이므로 "셋"이라는 추상적인 개념 다음에 오는 것(현대적으로 말하자면, [[따름함수]])은 "넷"이라는 또 다른 추상적인 개념이 된다. 이렇게 개념을 추상화하면 "양이 몇 마리가 있더라도 (양이 충분히 많다면) 항상 더 많은 양을 데려 올 수 있다"와 같은 구체적인 말을 "어떤 [[자연수]]에서도 그보다 큰 자연수는 항상 존재한다"라는 추상적인 말로 바꿀 수 있고, 이런 추상적인 사고가 수학의 출발이었음은 부정할 수 없을 것이다.
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 +===== 역사 =====
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 +보통 최초로 체계화된 숫자는 (위에서 봤듯이) **[[자연수]]**($$\mathbb N$$)로 보고, 자연수에 [[숫자0|0]]을 넣어서 **[[정수]]**($$\mathbb Z$$)로 확장이 되는 데는 상당한 시간(아주 늦게는 17세기까지)이 걸렸다. 그러나 정수는 다른 숫자들을 정의하는 데 매우 중요한 역할을 하는데, 이 점은 [[Leopold Kronecker]]의 다음 명언에서도 잘 표현되어 있다.
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 +> 신이 정수를 만들었고, 나머지는 인간의 창작이다.
 +> God made the integers, all the rest is the work of man.
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 +정수는 갯수를 세는 용도로는 충분하지만 양이라는 개념을 추상화하는데는 부족했기 때문에, 정수 두 개로 이루어진 [[비율]]을 추상화하는 **[[유리수]]**($$\mathbb Q$$)가 등장했다. 지금 설명하는 순서와는 달리, 유리수는 사실 음수보다 더 빨리 등장했는데 비율이라는 개념이 음수라는 개념의 "해석"보다 훨씬 더 직관적이라서 그런 것이 아닐까 싶다.
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 +유리수는 숫자의 실용적인 목적으로는 사실상 완전한 체계였지만, 수학적으로 추상화를 하던 과정에서 유리수를 빠져 나오는 숫자의 예시가 꾸준히 발견되면서 도전을 받게 된다. 대표적인 숫자가 [[2의제곱근]]($$\sqrt 2$$)으로, 이 숫자는 "제곱하면 [[2]]가 되는 수"라는 지극히 멀쩡하고 간단한 설명을 가지고 있지만 유리수가 아니라는 점이 [[기원전]]에 이미 밝혀져 있었다. 이 때문에 유리수가 아닌 숫자 [[무리수]]와, 이 둘을 아우르는 **[[실수]]**($$\mathbb R$$)의 개념이 필요해졌으며 이는 19세기가 되어서야 명확히 정의가 된다. 실수는 [[완비성]]을 갖추고 있으며, 이 때문에 우리가 생각하는 "양"이라는 개념을 온전히 추상화하게 된다.
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 +실수 이후의 확장은 현실적인 이유보다는 추상화 과정에서 나타난 어려움들을 해결하기 위해 진행되었다고 보는 것이 옳다. 예를 들어, 실수의 확장인 **[[복소수]]**($$\mathbb C$$)는 "제곱하면 음수가 되는 수"와 같은 개념을 정의하기 위해 만들어진 개념이었으나 꼭 필요한 건 아니었다. ([[0으로나누기]]가 정의가 되지 않은 것과 마찬가지 방법으로, 음수의 제곱근 또한 굳이 존재한다고 정의할 필요는 없다.) 이 때문에 음수의 제곱근에 대응하는 [[허수]]는 "가짜" 숫자라는 오명(?)을 뒤집어 쓰게 된다. 하지만 복소수 또한 "양"이라는 개념에는 바로 대응되지는 않지만 현실에서도 여러 쓸모를 가지고 있다는 게 밝혀지면서 이 오명은 다행히도 사라지게 된다. 복소수는 [[사원수]], [[팔원수]] 등으로 꾸준히 확장되고, 정수를 다른 방법으로 확장([[p진수]] 등)하는 방법도 현대에는 많이 알려져 있으나, 현실적으로는 복소수가 보통 쓰이는 숫자 중에서는 가장 큰 분류라 할 수 있다.
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 +===== 숫자의 분류 =====
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 +  * [[자연수]]($$\mathbb N$$) = [[짝수]] + [[홀수]] = [[1]] + [[소수]] + [[합성수]]
 +  * [[정수]]($$\mathbb Z$$) = 자연수 + [[숫자0]]((정의에 따라서는 0을 자연수에 넣을 때도 있고 아닐 때도 있다.)) + [[음수]]
 +  * [[유리수]]($$\mathbb Q$$) = 정수 + [[분수]]
 +  * [[실수]]($$\mathbb R$$) = 유리수 + [[무리수]] = [[대수적수]] + [[초월수]]
 +  * [[복소수]]($$\mathbb C$$) = 실수 [[곱집합|×]] [[허수]]
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 +===== 같이 보기 =====
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 +  * [[기수법]]
 +  * [[숫자목록]]
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 +{{tag>숫자}}

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마지막 수정 2011-08-15 16:38 | 작성자 lifthrasiir