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+====== 거듭제곱 ======
+Exponentiation. 반복된 [[곱셈]]을 나타내는 [[이항연산]]. [[자연수]] //a//와 //b//에 대해 //a//의 //b//제곱 $$a^b$$는 //a//를 //b//회 반복하여 곱한 것으로, 다음과 같이 정의된다:
+<.center>$$a^b = \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b}$$</>
+물론 자연수가 아닌 다른 숫자, 이를테면 [[실수]]나 [[복소수]]에 대해 이 정의를 확장하는 것도 가능하다. 어느 경우든 거듭제곱에서 반복되어 곱해지는 숫자(아랫쪽에 쓰는 숫자)는 **밑**(base), 그리고 곱셈을 반복하는 횟수(윗쪽에 [[첨자]]로 쓴 숫자)는 **지수**(exponent)라고 부른다.
+===== 엄밀한 정의 =====
+앞에서 쓴 정의를 [[재귀]]적으로 다시 쓰면 다음 두 규칙을 얻는다.
+  - $$a^1 = a$$
+  - $$b > 1$$일 때, $$a^b = a \times a^{b-1}$$
+두번째 규칙을 $$b = 1$$일 때에 대해서 확장하면 //a//가 0이 아닐 때 $$a^0 = 1$$을 얻는다. (//a//가 0일 경우는 상황이 복잡한데, 자세한 설명은 [[0의0제곱]]을 참고하라.) 마찬가지로 $$b \le 0$$일 때에 대해서 확장하면 //a//가 0이 아닐 때 $$a^b = \frac{1}{a^{-b}}$$가 성립하며, 특히 $$a^{-1} = \frac{1}{a}$$가 된다. 이 정의는 //a//가 실수 및 복소수 범위일 경우에 대해서도 그대로 사용할 수 있다.
+다음 등식들은 위 정의와 곱셈의 성질로부터 어렵지 않게 증명할 수 있다.
+  * $$a^b \times a^c = a^{b+c}$$
+  * $$\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$$
+  * $$(a^b)^c = a^{b \times c}$$ (하지만 $$a^{(b^c)}$$와는 다르다.)
+  * $$(a \times b)^c = a^c \times b^c$$
+  * $$\left(\frac{a}{b}\right)^c = \frac{a^c}{b^c}$$
+==== 유리수 지수 ====
+//b//가 자연수가 아닐 경우 문제는 조금 더 복잡해진다. 일단 //b//가 [[유리수]]일 경우, $$b = \frac{1}{k}$$라 하면 $$a^{\frac{1}{k}}$$는 //k//제곱해서 //a//가 되는 숫자가 되는데((앞의 등식이 성립한다고 치면 $$(a^{\frac{1}{k}})^k = a^{\frac{1}{k} \times k} = a^1 = a$$이므로.)) 우리는 이를 [[n제곱근|k제곱근]]이라 부른다...라고 했으면 좋았을텐데, 실제로는 이런 숫자가 한 둘이 아닐 수 있기 때문에 주의가 필요하다. 예를 들어 제곱해서 4가 되는 숫자는 2도 있고 -2도 있는데, 편의상 $$4^{\frac12}$$라고 쓰면 이 둘 중 하나(이 경우, 양의 제곱근인 2)를 골라서 쓰는 것이다.
+일반적으로 0이 아닌 수의 //k//제곱근은 복소수 범위에서 정확히 //k//개 존재하기 때문에, 이 중 어느 값을 선택하느냐는 순전히 선택의 문제에 가깝다. 이 때문에 흔히 [[대표값]](principal value)이라 하여, //k//개의 제곱근 중 편하게 다룰 수 있는 하나만을 $$a^{\frac{1}{k}}$$의 값으로 취하게 된다. //a//가 실수일 경우 이 대표값은 실수, 그리고 만약 양수인 쪽이 존재할 경우 양수로 결정하게 되는데, 이 때문에 $$4^{\frac12} = 2$$이고(다른 제곱근인 -2는 음수이다) $$(-27)^{\frac13} = -3$$이다(실수인 제곱근이 하나 밖에 없다). //a//가 복소수일 경우에 대해서는 뒷쪽을 참고하라.
+일단 이런 식으로 //k//제곱근이라는 개념을 도입하고 나면 $$a^{\frac{p}{q}} = \left(a^{\frac{1}{q}}\right)^p$$로 정의할 수 있다. 이 정의는 앞에서 설명했던 자연수 및 정수 지수에서의 거듭제곱을 부분집합으로 포함하긴 하지만, 몇 가지 성질을 바꿀 필요가 있다:
+  * $$(a \times b)^c = a^c \times b^c$$ (단, **//a//와 //b//가 실수이고 양수일 때**)
+  * $$\left(\frac{a}{b}\right)^c = \frac{a^c}{b^c}$$ (단, **//a//와 //b//가 실수이고 양수일 때**)
+이 두 가지이다. 만약 조건이 달려 있지 않다면 $$1 = (-1 \times -1)^{\frac12} = (-1)^{\frac12} (-1)^{\frac12} = -1$$ 같은 [[모순]]에 빠지고 만다. 물론 //c//가 정수일 경우에는 //a//와 //b//가 무엇이든간에 이 등식이 성립한다.
+==== 실수 지수 ====
+유리수는 [[조밀집합|조밀]]하지만(즉, 서로 다른 두 유리수를 잡으면 그 사이에 다른 유리수가 항상 존재함) [[완비성]]을 갖추진 않았기 때문에(아무리 용을 써도 2의 제곱근을 정확히 나타낼 수는 없다) 유리수 지수에 대해 정의된 거듭제곱을 [[극한]]을 사용해 확장하여 실수 지수에 대한 거듭제곱을 쉽게 정의할 수 있다. 즉,
+<.center>$$\displaystyle a^b = \lim_{\frac{p}{q} \to b}{a^{\frac{p}{q}}} \quad(b \in \mathbb{R},~p, q \in \mathbb{Z})$$</>
+이렇게 정의한 거듭제곱은 //a//가 어떤 값일 때 매우 특이한 성질을 지니게 되는데, 좀 더 정확하게 말하면 [[함수]] $$f(x) = e^x$$를 정의할 때 이 함수의 [[도함수]] 또한 본래의 $$f(x)$$와 같아지게 되는 것이다. 이런 성질을 만족하는 실수 $$e$$는 유일하게 존재하며, 다들 잘 아듯이 [[자연상수]](≈ 2.7182818...)라 부른다. 또한 이렇게 만들어진 함수는 [[지수함수]](exponential function)라 부른다. (보통 $$\exp(x)$$라고 많이 쓴다.)
+지수함수는 [[연속함수]]이며 [[전단사]] 함수이기 때문에 [[역함수]]가 존재하며, 이 역함수는 [[자연로그]](natural logarithm)라 부르고 $$\ln x$$라 쓴다. (당연히 이 함수는 //x//가 0보다 클 때만 정의된다.) 이 함수는 지수함수의 역함수라는 점을 빼고도 다양한 특징을 가지고 있지만, 일단 지수함수의 역함수라는 점에서 $$e^{\ln a} = a$$임을 알 수 있기 때문에 $$a^b = (e^{\ln a})^b = e^{b \ln a}$$를 기대할 수 있고 실제로 그러하다. 다시 말해서, 거듭제곱 함수는 지수함수와 그 역함수인 자연 로그로 재정의하는 게 가능한 것이다. 이 점은 거듭제곱 함수를 복소수로 확장할 때 매우 중요한 역할을 한다.
+==== 복소수 지수 ====
+앞에서 실수 //a//와 //b//에 대해 $$a^b = e^{b \ln a}$$로 정의한다고 했다. 만약 지수함수와 자연 로그를 복소수에 대해 확장할 수 있다면, 공짜로 복소수 지수에 대한 거듭제곱도 함께 정의할 수 있게 된다.
+실수 범위의 지수함수는 앞에서 설명했던 정의(도함수가 본래의 함수와 같은 유일한 함수) 말고도 여러 방법으로 정의할 수 있는데, 특히 지수함수의 (//x//=0을 중심으로 하는) [[테일러급수]] 전개는 놀랍게도 [[삼각함수]]의 테일러 급수 전개와 완벽하게 일치한다:
+> $$\displaystyle e^{ix}$$
+> $$\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!}$$
+> $$\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ (짝수째 항과 홀수째 항을 분리)
+> $$\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^{2n} x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{i^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
+> $$\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
+> $$\displaystyle = \cos x + i \sin x$$
+이는 [[오일러등식]]이라 하여 테일러 급수 전개 말고도 여러 방법으로 증명할 수 있으며, 더 나아가 자연 로그를 복소수 범위로 확장하는 데 쓸 수도 있다. 왜냐하면 위의 등식 때문에 모든 복소수를 $$re^{i\theta}$$의 형태로 쓰는 게 가능하기 때문인데((0이 아닌 임의의 복소수 $$z = a + bi$$를 생각하면, 이를 [[노름]](norm) $$r$$로 나눈 $$z' = \frac{a}{r} + i \frac{b}{r}$$는 항상 $$z' = \cos \theta + i \sin \theta$$의 형태로 쓸 수 있다. 왜냐하면 $$\left(\frac{a}{r}\right)^2 + \left(\frac{b}{r}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{r^2}$$인데, 복소수에서의 노름은 $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$로 정의되므로 이 값은 1이 된다. 고로 $$z'$$는 [[복소평면]] 상에서 항상 [[단위원]] 위에 위치하게 되고, $$\theta$$와 일대일 대응이 가능하게 된다.)), 실제로 로그 함수의 성질을 사용하면 $$\ln re^{i\theta} = \ln r + i\theta$$가 성립하게 된다. 이렇게 확장한 자연 로그가 여전히 지수함수의 역함수임은 쉽게 확인할 수 있다.
+자연 로그를 복소수 인자로 확장하면 한 가지 주의할 점이 생기게 되는데, 바로 **로그값이 하나로 정해지지 않는다**는 점이다. 임의의 복소수와 정수 //n//에 대해 $$re^{i\theta} = re^{i(\theta+2n\pi)}$$가 성립하므로, 사실은 $$\ln re^{i\theta} = \ln r + i(\theta + 2n\pi)$$인 것이다! 이 때문에 복소수 자연 로그는 [[다가함수]](multivalued function)이며, 앞에서 여러 개의 제곱근 중 하나를 정할 때 사용했던 것과 마찬가지로 대표값의 개념을 필요로 하게 된다. (이 경우, 허수부가 -π보다 크고 π보다 작거나 같도록 대표값을 정한다.) 복소수 자연 로그가 다가함수이니 이걸 갖다 쓰는 거듭제곱 또한 다가함수일 수 밖에 없다.
+흔히 드는 예로 $$i^i$$(...)가 있는데, 이는 다음과 같이 계산할 수 있다:
+<.center>$$\ln i = \ln (1 e^{i (2n+\frac12)\pi}) = \ln 1 + i(2n+\frac12)\pi = i(2n+\frac12)\pi \quad(n \in \mathbb{Z})$$\\ 따라서, $$i^i = e^{i \ln i} = e^{i \cdot i(2n+\frac12)\pi} = e^{-(2n+\frac12)\pi} \quad(n \in \mathbb{Z})$$</>
+이 값의 대표값은 //n//=0을 대입해서 얻을 수 있는데, 이 경우 $$e^{-\frac12 \pi} \approx 0.207879\cdots$$가 된다. 웃긴 점은 밑과 지수가 둘 다 복소수인 주제에 결과는 실수라는 점이다....
+거듭제곱을 이 지경까지 확장했음에도 불구하고 이 최종 정의는 처음에 접했던 자연수 및 정수 지수의 거듭제곱을 정확히 포함하고 있다. 그러나 복소수로 거듭제곱을 확대할 경우 한 가지 사라지는 성질이 있는데, 바로 다음과 같다:
+  * $$(a^b)^c = a^{b \times c}$$ (단, **//b//와 //c//가 모두 실수일 때**)
+같은 이유로 등식 $$\ln a^b = b \ln a$$ 역시 //a//와 //b//가 모두 실수일 때만 성립한다.
+===== 거듭제곱 "기호" =====
+현재의 윗[[첨자]]를 사용한 거듭제곱 표기법은 15세기에 처음 등장했으나, 제곱 이상 모든 거듭제곱에 첨자 표기를 사용하는 규칙은 정착되는 데 더 오랜 시간이 걸렸다. 일부 수학자들은 제곱에 대해서는 그냥 곱셈을 사용하고(//x//<sup>2</sup> 대신 //xx//) 세제곱 이상에서만 첨자를 사용하기도 했다. 그러나 아무래도 [[귀차니즘|귀찮았는지]] 이 규칙은 점차 힘을 잃었다.
+덧셈(+)이나 곱셈(× 또는 ·)과는 달리 거듭제곱의 경우 이항 연산자로 쓰는 일반적인 기호가 없다. 다만 윗[[화살표]] ↑가 쓰이는 경우가 종종 있는데, 이는 [[커누스윗화살표표기법]]의 영향을 크게 받은 것이다. (여기서는 [[하이퍼연산|하이퍼]]4[hyper-4] 연산자를 ↑↑로, 하이퍼5 연산자를 ↑↑↑로 쓰고 있다.) 첨자를 쓸 수 없는 [[플레인텍스트]] 환경에서는 ''^''나 ''**''를 주로 쓰는데 전자는 윗화살표를, 후자는 거듭된 곱셈을 강조하는 것이다.
+{{tag>수학}}

도쿠위키와 DokuWiki-custom(rev 9085d92e02)을 씁니다.
마지막 수정 2011-09-23 05:54 | 작성자 lifthrasiir