자연수

대강 말하면 갯수를 셀 때 사용하는 숫자의 집합. 0부터 시작하느냐 1부터 시작하느냐는 분야마다 취향이 다른데 여기선 0도 자연수에 포함된다고 치자. (1부터 시작할 때의 이점은 소수의 정의가 간편해진다는 것이고, 0부터 시작할 때의 이점은 자연수 집합에 항등원이 포함된다는 것이다.) 보통 \mathbb{N}으로 쓴다.

"자연수"라는 이름은 아마도 갯수를 세는 것이 인류 최초의 수학적 행위였을 거라는 추측에서 나왔으리라. "자연수는 신이 만든 것이요 나머지는 인간의 창조물이다"라는 개드립얘기가 종종 돌아 다니는데¹⁾ 일면 아주 틀린 말은 아니다. 바꿔 말하면 다른 모든 수 체계가 자연수에 의존하기 때문에 자연수의 엄밀한 정의는 수학 전체를 좌지우지하는 중요한 역할을 한다. 보통 여기에는 페아노 공리계를 쓴다.

집합론적으로 흔히 쓰이는 자연수의 구성은 다음과 같다.

• 숫자 0은 공집합 \varnothing과 같다.
• 0보다 큰 숫자 n은 n보다 작은 자연수의 집합, 즉 \{0, 1, \cdots, n-1\}와 같다.

이 구성은 페아노 공리계를 만족할 뿐만 아니라 숫자에 대한 집합의 크기가 원래 숫자와 대응하는 좋은 성질을 가지고 있다. 또한 모든 자연수의 집합 \omega를 생각하면 초한수로 쉽게 확장된다는 장점도 있다.