무정의 용어

수학적으로 말하자면 "점", "선", "면" 같은 것들을 무정의 용어라고 부른다…라고 학교에서는 배운다. 물론 유클리드는 이렇게 안 했다 카더라.

사실 무정의 용어가 정말로 정의가 안 되어 있는 건 아니다. 현대 수학 체계는 강력한 공리계 위에 세워져 있어서¹⁾ 특정한 공리를 만족하는 무언가(다른 수학적 객체나 현실의 물체나 등등)를 그렇게 부른다라고 약속하는 것이다.²⁾ 예를 들어 직선을 조금 더 엄밀하게 정의하면 두 점을 지나는 직선이 항상 존재하며 두 직선은 많아봐야 한 개의 교차점만을 지닌다 따위의 공리가 등장하는데, 이 정의를 구 위에서 만족하는 수학적 객체는 다름이 아니라 대원(다른 말로 하면, 구의 중심을 지나는 면과 구 표면의 교차선)이다. 이런 상황을 방지하기 위해 추가적인 공리를 추가할 수도 있지만 보통 다른 공리와 충돌할 것이다. 실제로 일부 수학자들은 공리를 빼거나 추가했을 때 얻어지는 새 공리계의 성질을 연구하기도 한다.